Concepto, Elementos y Ejes de la Elipse

En la entrada anterior analizamos la homología y sus propiedades. Siguiendo con nuestro recorrido por las transformaciones geométricas planas, hoy nos adentramos en la afinidad (también conocida como homología afín).

1. ¿Qué es la afinidad?

La afinidad o homología afín es un caso particular de la homología en el que el centro de proyección es un punto impropio, es decir, se encuentra situado en el infinito ¿Os acordáis de esta imagen?

Por este motivo, la transformación ya no se realiza mediante rayos que convergen en un punto finito, sino mediante rectas paralelas a una dirección constante llamada dirección de afinidad. A diferencia de la homología general, la afinidad sí conserva el paralelismo entre rectas.

2. ¿Cómo funciona la afinidad? Propiedades fundamentales

Toda transformación afín se rige por las siguientes condiciones y propiedades esenciales:

Alineación con la dirección de afinidad: Las parejas de puntos afines (P) y (P’) están siempre alineadas sobre rectas paralelas a la dirección de afinidad (d).
Concurrencia en el eje: Las rectas afines (r) y r’) se cortan siempre en un punto perteneciente al eje de afinidad, que es la recta fija de puntos dobles.
Ausencia de rectas límite: En la afinidad no existen rectas límite, ya que el centro de homología se encuentra en el infinito.
Conservación del paralelismo: Dos rectas paralelas en la figura original se transforman en dos rectas que siguen siendo paralelas entre sí en la figura afín.

3. Elementos fundamentales de una afinidad

Para definir o trabajar con una afinidad, es necesario conocer sus componentes básicos:

Eje de afinidad (e): Recta fija que representa el lugar geométrico de los puntos dobles (puntos que coinciden con su propio afín). Las rectas afines concurren en puntos de este eje.
Dirección de afinidad (d): Dirección determinada por el centro de homología en el infinito. Define la orientación de las rectas que unen cada punto con su afín.
Puntos afines (P) y (P’): Pareja de puntos (original y transformado) cuyo segmento de unión \(PP’\) es paralelo a la dirección de afinidad.
Rectas afines (r) y (r’): Pareja de rectas que se corresponden en la transformación y se intersecan en el eje de afinidad.
Razón de afinidad (k): Es la constante dada por la relación de distancias de dos puntos afines al eje. Si (k) es positiva, los puntos afines se encuentran al mismo lado del eje; si es negativa, se sitúan a distinto lado. Para comprender cómo afecta el signo de la razón en el resultado final de una afinidad, vamos a considerar un triángulo rectángulo ABC, un eje e y una razón de afinidad K=-1/2 y K=1/2. Construyendo las figuras afines para K negativo y para K positivo, puede observarse que las figuras obtenidas en ambos casos no son idénticas, variando su posición con relación al eje de afinidad. Así, para K=-1/2 los dos triángulos quedan a uno y otro lado del eje e, mientras que con K=1/2 ambos triángulos quedan situados a un mismo lado de e.

4. Transformada afín de la circunferencia y ejes principales de la elipse

Entre la circunferencia y la elipse existe una relación de afinidad. Dado el eje de afinidad (e), una circunferencia de centro (O) y el centro afín (O’), el proceso para determinar los ejes principales de la elipse se resuelve de la siguiente manera:

Dirección de afinidad: Se une el centro (O) con su afín (O’), fijando la dirección de afinidad.
Planteamiento geométrico: Los ejes principales de la elipse y sus diámetros correspondientes en la circunferencia deben verse bajo un ángulo recto de 90º desde el eje (e). Por tanto, el problema se reduce a encontrar los arcos capaces de 90º con centro sobre el eje (e).
Obtención del centro \(P\) y puntos auxiliares: Se traza la mediatriz del segmento (OO’) y se determina su intersección con el eje (e), obteniendo el centro (P). Trazando el arco capaz desde (P), este determina sobre el eje (e) dos puntos, (M) y (N).
Determinación de los ejes: Uniendo (M) y (N) con (O) y (O’), se definen dos diámetros perpendiculares en la circunferencia que se transforman por afinidad en los dos ejes principales perpendiculares de la elipse (A’B’) y (C’D’).

Resumen

Elemento / Concepto	Características
Centro (O infinito)	Punto impropio en el infinito que establece la dirección de afinidad (d).
Eje (e)	Recta de puntos dobles donde se cortan las rectas afines.
Rectas Límite	No existen en la afinidad.
Paralelismo	Se conserva siempre en toda la transformación.
Transformada de la circunferencia	Genera una elipse cuyos ejes principales se hallan mediante el arco capaz de 90º del segmento (OO’).