Conceptos, Elementos y Funcionamiento
Bienvenid@s a un nuevo tema sobre Geometría Plana. Entramos ya en lo que conocemos como Transformaciones geométricas (ya conocéis algunas del año pasado; giro, simetría, traslación…), y por fin, llegamos a la homología.
Primero, vamos a ver qué es, cómo funciona y cuáles son sus elementos fundamentales
1. ¿Qué es una homología?
La homología es una transformación geométrica plana (u homográfica). A diferencia de otras transformaciones más rígidas o proporcionales (como las isometrías o las homotecias), la homología únicamente conserva el número de lados de la figura inicial.
Las demás propiedades geométricas —como los ángulos, el paralelismo, la perpendicularidad, las distancias y las proporciones— se ven alteradas en la figura transformada.
2. ¿Cómo funciona la homología? Las dos leyes fundamentales
El funcionamiento de toda homología se rige de manera estricta por dos leyes o propiedades indispensables:
- Alineación con el centro: Dos puntos homólogos A y A’ están siempre alineados con un punto fijo denominado centro de homología O.
- Concurrencia en el eje: Dos rectas homólogas r y r’ se cortan siempre en un punto perteneciente a una recta fija llamada eje de homología.
Gracias a la combinación de estas dos reglas, cualquier trazado sobre la figura original puede proyectarse para obtener la figura homóloga equivalente.
3. Elementos fundamentales de una homología
Para definir o trabajar con una homología, es indispensable conocer sus componentes esenciales:
- Centro de homología (O): Es el punto fijo que actúa como foco de la radiación de rectas que unen cada punto original con su homólogo. Todas las rectas proyectantes parten o pasan por este centro.
- Eje de homología (e): Es una recta fija que constituye el lugar geométrico de los puntos dobles (puntos que coinciden exactamente con su propio homólogo). Las rectas homólogas convergen siempre en puntos contenidos en este eje.
- Puntos homólogos (P) y (P’)): Son parejas de puntos (el original y su transformado) que se encuentran alineados sobre un mismo rayo procedente del centro \(O\).
- Rectas homólogas (r) y (r’): Son pares de rectas que se corresponden en la transformación y que siempre se intersecan en el eje de homología.
- Rectas límite (RL_1) y (RL_2)): Son dos rectas paralelas al eje de homología que representan el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos se encuentran en el infinito (puntos impropios). (Nota: Por ahora solo las nombramos para saber que existen como parte de los elementos de la homología, sin emplearlas aún en la resolución de problemas).
4. Clasificación según la posición del eje
Según dónde se sitúen los puntos homólogos respecto al eje de homología, distinguimos dos casos:
- Homología directa: Ocurre cuando un punto original y su homólogo se encuentran a distinto lado del eje de homología.
- Homología inversa: Ocurre cuando un punto original y su homólogo se sitúan al mismo lado del eje de homología.
5. Paralelismo
A diferencia de otras transformaciones geométricas, la homología altera las propiedades métricas y posicionales como el paralelismo, los ángulos, la perpendicularidad, las distancias y las proporciones, conservando únicamente el número de lados de la figura inicial
La única excepción: El paralelismo solo se conserva cuando las rectas son paralelas al eje de homología (y a las rectas límite). Las homólogas de estas rectas seguirán siendo paralelas entre sí y paralelas al propio eje
Resumen rápido
| Elemento | Función principal |
|---|---|
| Centro (O) | Une todos los pares de puntos homólogos mediante rayos alineados. |
| Eje (e) | Intersección común de todas las rectas homólogas (puntos dobles). |
| Rectas Límite (RL) | Rectas paralelas al eje cuyos homólogos van al infinito |
